BSz1 Jegyzet

5. Tétel:

Térbeli koordinátageometria: sík egyenlete, egyenes egyenletrendszerei (paraméteres és nem paraméteres alakban is). Skaláris szorzat fogalma és kiszámítása (biz. nélkül); vektoriális szorzat fogalma és kiszámítása (biz. nélkül). Adott térbeli vektorok lineáris függetlenségének, R3-beli generátorrendszer voltának, illetve bázis voltának geometriai feltétele.

5.1. A térbeli vektorok

A síkbeli koordinátageometria kidolgozásának legfőbb segédeszközei a vektorok és a rajtuk végzett műveletek voltak; a térben ezek ugyanilyen hasznosak lesznek.

A vektor fogalma a térben

A térbeli vektor továbbra is irányított szakaszt jelent – annak a kiegészítésnek a megtartásával, hogy az egymással párhuzamos, azonos irányú és hosszúságú vektorokat azonosnak tekintjük.

Így a 2.1a és a 2.1b ábrán is ugyanannak a $\underline{v}$ vektornak a három–három példányát látjuk.

Koordináta-jellemzés

A vektorok továbbra is jellemezhetők koordinátákkal: az $(a, b, c)$ számhármas azt a vektort jelöli, ami (illetve amelynek az egyik példánya) az origóból az $(a, b, c)$ pontba mutat.

A koordináták állandósága

Fontos tehát észben tartani: függetlenül attól, hogy a $\underline{v}$ vektornak éppen melyik példányával találkozunk (azaz a koordinátarendszerben épp hová toltuk), a koordinátái változatlanok.

Így például a 2.1a ábrán a $\underline{v}$ koordinátái (mindhárom esetben) $(a, b)$, a 2.1b ábrán pedig $\underline{v} = (a, b, c)$.

A helyvektor definíciója:

A vektoroknak azt a példányát, amelynek a kezdőpontja az origó, helyvektornak is szokás nevezni.

5.2. Műveletek térbeli vektorokkal (2.1.1. Tétel)

2.1.1. Tétel:

Legyenek $\underline{u} = (u_1, u_2, u_3) \in \mathbb{R}^3$ és $\underline{v} = (v_1, v_2, v_3) \in \mathbb{R}^3$ térvektorok és $\lambda \in \mathbb{R}$ skalár. Ekkor:

  • i $\underline{u} + \underline{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3)$
  • ii $\underline{u} - \underline{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2, u_3 - v_3)$
  • iii $\lambda \cdot \underline{u} = (\lambda u_1, \lambda u_2, \lambda u_3)$

A fenti tétel tehát azt mondja ki, hogy a térbeli vektorok közötti műveletek és a koordináták kapcsolata analóg módon működik azzal, ahogyan azt a síkvektorok esetében megszoktuk.

Megjegyzés a bizonyításról:

A fenti tétel természetesen nem magától értetődő igazság, bizonyításra szorulna. A bizonyítást itt annak ellenére is elhagyjuk, hogy egyáltalán nem volna nehéz (a műveletek egyszerű tulajdonságaiból könnyen levezethető); ehelyett arra hivatkozunk, hogy a síkvektorokra vonatkozó (és így a középiskolai tanulmányokból ismert) analóg tétel bizonyítása itt is akadálymentesen működne.

Példafeladat: Térbeli műveletek végzése

Feladat:

Adottak az $\underline{a} = (2, -3, 5)$ és $\underline{b} = (-1, 4, 2)$ térbeli vektorok.
Számítsuk ki a $3\underline{a} - 2\underline{b}$ vektor koordinátáit!

1. Skalárral való szorzások (iii. tulajdonság)

$3\underline{a} = 3 \cdot (2, -3, 5) = (6, -9, 15)$
$2\underline{b} = 2 \cdot (-1, 4, 2) = (-2, 8, 4)$

2. Kivonás elvégzése (ii. tulajdonság)

A megfelelő koordinátákat páronként kivonjuk egymásból:

$3\underline{a} - 2\underline{b} = (6 - (-2), -9 - 8, 15 - 4)$

3. Végeredmény

$(8, -17, 11)$

Tehát a keresett eredő vektor koordinátái: $x = 8, y = -17, z = 11$.

5.3. A skaláris szorzat

Az $\underline{u}$ és $\underline{v}$ vektorok skaláris szorzatán definíció szerint az $\underline{u} \cdot \underline{v} = |\underline{u}| \cdot |\underline{v}| \cdot \cos \phi$ skalárt (számot) értjük, ahol $|\underline{u}|$ és $|\underline{v}|$ a vektorok hosszát, $\phi$ pedig a bezárt szögüket jelöli.

Ha $\underline{u}$ és $\underline{v}$ valamelyike $\underline{0}$, akkor a skaláris szorzat értéke definíció szerint 0. Ezt a definíciót minden változtatás nélkül elfogadjuk térvektorokra is.

A skaláris szorzat gyakran a vektorok merőlegességének vizsgálatakor jut szerephez: $\underline{u} \cdot \underline{v} = 0$ akkor és csak akkor igaz, ha $\underline{u}$ és $\underline{v}$ merőlegesek (vagy ha valamelyikük $\underline{0}$). Valóban: $\cos \phi = 0$ épp $\phi = 90^\circ$ esetén igaz (feltéve, hogy $0^\circ \le \phi \le 180^\circ$).

2.1.2. Tétel:

Legyenek $\underline{u} = (u_1, u_2, u_3) \in \mathbb{R}^3$ és $\underline{v} = (v_1, v_2, v_3) \in \mathbb{R}^3$ térvektorok. Ekkor a skaláris szorzatuk a koordinátákból az alábbi módon számítható ki:

$\underline{u} \cdot \underline{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$

Példafeladat: Skaláris szorzat és merőlegesség

Feladat:

Döntse el, hogy az $\underline{a} = (3, -2, 4)$ és $\underline{b} = (2, 7, 2)$ térbeli vektorok merőlegesek-e egymásra!

1. Elméleti háttér

Két vektor akkor merőleges, ha skaláris szorzatuk nulla ($\underline{a} \cdot \underline{b} = 0$). A számításhoz a 2.1.2. Tételt használjuk.

2. Behelyettesítés a koordináta-képletbe

$\underline{a} \cdot \underline{b} = (3 \cdot 2) + (-2 \cdot 7) + (4 \cdot 2)$

3. Számítás elvégzése

$\underline{a} \cdot \underline{b} = 6 + (-14) + 8$

$\underline{a} \cdot \underline{b} = 0$

4. Következtetés

Mivel a skaláris szorzat értéke pontosan 0, ezért a $\cos \phi = 0$ feltétel teljesül.
Válasz: A két vektor merőleges egymásra.

5.4. Az egyenes egyenletrendszere (2.1.2.)

A síkban megszoktuk, hogy ha egy $e$ egyenesnek már ismerjük egy adott $P_0$ pontját, akkor $e$ meghatározásához elég megadni akár egy irányvektorát, akár egy normálvektorát – a kettő között az átjárás egyszerű.

Miért nem elég a normálvektor a térben?

A térben már más a helyzet: hiába ismerjük $e$ egy normálvektorát (vagyis egy $e$-re merőleges vektort) és $P_0$-t, ezáltal $e$ még nincs egyértelműen megadva.

Valóban: képzeljük el, hogy egy, az $\underline{n}$ vektorral párhuzamos tengely körül propeller módjára forgatjuk a $P_0$-on átmenő, $\underline{n}$-re merőleges egyenest; ekkor a propeller minden állásában olyan egyenest kapunk, amely $P_0$-t tartalmazza és merőleges $\underline{n}$-re.

A térben ezért egy $e$ egyenes megadásához egy adott $P_0(x_0, y_0, z_0)$ pontja mellett egy $\underline{v} = (a, b, c)$ ($\underline{v} \neq \underline{0}$) irányvektorát adhatjuk csak meg (vagyis egy $e$-vel párhuzamos vektort).

Az egyenlet származtatása

Nyilván eljuthatunk $e$ minden $P$ pontjához – és csak ezekhez –, ha $P_0$-ból felmérjük a $\underline{v}$ irányvektor minden lehetséges skalárszorosát.

Ha tehát $P(x, y, z)$ egy tetszőleges pont a térben és $\underline{p}_0$, illetve $\underline{p}$ jelöli az origóból $P_0$-ba, illetve $P$-be mutató vektorokat, akkor $P \in e$ akkor és csak akkor igaz, ha fennáll egy alkalmas $\lambda \in \mathbb{R}$ skalárra:

$\underline{p} = \underline{p}_0 + \lambda \cdot \underline{v}$

Az egyenes paraméteres egyenletrendszere (2.1.1):

$x = x_0 + \lambda \cdot a$

$y = y_0 + \lambda \cdot b$

$z = z_0 + \lambda \cdot c$

$\lambda \in \mathbb{R}$

Ezt az egyenletrendszert az egyenes paraméteres egyenletrendszerének szokás nevezni. Ha a $\lambda$ paramétert képzeletben végigfuttatjuk a valós számegyenesen, akkor a 2.1.1. egyenletrendszer által megadott $(x, y, z)$ pont végigfut az $e$ egyenesen.

Példafeladat: Egyenes egyenlete és pont illeszkedése

Feladat:

Adott a térben a $P_0(1, -2, 3)$ pont és a $\underline{v} = (2, 1, -4)$ irányvektor.
a) Írja fel az egyenes paraméteres egyenletrendszerét!
b) Illeszkedik-e az egyenesre a $Q(5, 0, -5)$ pont?

a) Az egyenletrendszer felírása

Behelyettesítjük a koordinátákat ($x_0=1, y_0=-2, z_0=3$) és az irányvektor komponenseit ($a=2, b=1, c=-4$):

$x = 1 + 2\lambda$
$y = -2 + \lambda$
$z = 3 - 4\lambda$

b) Az illeszkedés vizsgálata

A $Q(5, 0, -5)$ koordinátáit behelyettesítjük az egyenletekbe, és ellenőrizzük, hogy ugyanazt a $\lambda$ értéket kapjuk-e:

  • 1. $5 = 1 + 2\lambda \implies 4 = 2\lambda \implies \mathbf{\lambda = 2}$
  • 2. $0 = -2 + \lambda \implies \mathbf{\lambda = 2}$
  • 3. $-5 = 3 - 4\lambda \implies -8 = -4\lambda \implies \mathbf{\lambda = 2}$

Következtetés

Mivel mindhárom koordinátához ugyanaz a $\lambda = 2$ paraméter tartozik, létezik olyan skalár, amivel $P_0$-ból eljutunk $Q$-ba.
Válasz: A $Q$ pont rajta van az egyenesen.

5.5. Az egyenes irányvektoros egyenletrendszere (2.1.5. Tétel)

2.1.5. Tétel:

Legyen adott az $e$ egyenesnek egy $P_0(x_0, y_0, z_0)$ pontja és egy $\underline{v} = (a, b, c), \underline{v} \neq \underline{0}$ irányvektora. Ekkor egy tetszőleges $P(x, y, z)$ pontra $P \in e$ pontosan akkor igaz, ha:

(i)

$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$, feltéve hogy $a \neq 0, b \neq 0$ és $c \neq 0$;

(ii)

$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b}$ és $z = z_0$, feltéve hogy $a \neq 0$ és $b \neq 0$, de $c = 0$ (és ezzel analóg állítás igaz, ha $\underline{v}$ koordinátái közül pontosan egy 0, de az nem $c$);

(iii)

$x = x_0, y = y_0$, feltéve hogy $a = b = 0$, de $c \neq 0$ (és ezzel analóg állítás igaz, ha $\underline{v}$ koordinátái közül pontosan egy nem nulla, de az nem $c$).

A tétel bizonyítása:

$P \in e$ pontosan akkor igaz, ha $e$ 2.1.1. paraméteres egyenletrendszere valamely $\lambda \in \mathbb{R}$ értékre $P$-t adja.

Az $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$ esetben tehát a három egyenletből $\lambda$-t kifejezve közös értéket kell kapnunk, ami épp a tétel (i) állítására vezet.

Ha $a \neq 0, b \neq 0$, de $c = 0$, akkor a megfelelő $\lambda$ létezése épp azt jelenti, hogy a $z = z_0$ egyenlet fennáll (ez az egyenletrendszer harmadik egyenlete) és az első két egyenletből $\lambda$-t kifejezve közös értéket kapunk; ez épp a tétel (ii) állítása.

Végül az $a = b = 0, c \neq 0$ esetben a paraméteres egyenletrendszer első két egyenlete az $x = x_0, y = y_0$ alakra egyszerűsödik, míg a harmadik egyenlet mindig kielégíthető a $\lambda = \frac{z - z_0}{c}$ választással. □

Példafeladat: Irányvektoros egyenlet felírása

Feladat:

Adott a $P_0(4, -1, 7)$ pont és a $\underline{v} = (3, 0, -2)$ irányvektor.
Írja fel az egyenes irányvektoros egyenletrendszerét!

1. Az eset kiválasztása

Mivel az irányvektor második koordinátája nulla ($b = 0$), az analóg (ii) eset érvényes.

2. Behelyettesítés

Az egyenletrendszer az $x$ és $z$ koordináták hányadosainak egyenlőségéből, valamint az $y$ konstans értékéből áll:

$\frac{x - 4}{3} = \frac{z - 7}{-2}$ és $y = -1$

Magyarázat

Ez az egyenletrendszer azt fejezi ki, hogy az egyenes minden pontjának $y$ koordinátája fixen $-1$, miközben az $x$ és $z$ koordináták a megadott arányban változnak az irányvektornak megfelelően.

5.6. A sík egyenlete (2.1.3.)

2.1.7. Tétel:

Legyen adott az $S$ síknak egy $P_0(x_0, y_0, z_0)$ pontja és egy $\underline{n} = (a, b, c), \underline{n} \neq \underline{0}$ normálvektora (vagyis a síkra merőleges vektor). Ekkor egy tetszőleges $P(x, y, z)$ pontra $P \in S$ pontosan akkor igaz, ha:

$ax + by + cz = ax_0 + by_0 + cz_0$

A tétel bizonyítása:

Egy tetszőleges $P$ pont pontosan akkor van rajta az $S$ síkon, ha a $\vec{P_0P}$ vektor párhuzamos $S$-sel (lásd a 2.3. ábrát).

Itt $\vec{P_0P} = \underline{p} - \underline{p}_0$, ahol $\underline{p}$ és $\underline{p}_0$ a megfelelő pontokba mutató helyvektorok. Így a 2.1.1. tétel szerint: $\vec{P_0P} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)$

A $\vec{P_0P}$ vektor pedig pontosan akkor párhuzamos $S$-sel, ha merőleges $\underline{n}$-re. Ez viszont (a skaláris szorzat definíciója szerint) pontosan akkor igaz, ha a skaláris szorzatuk nulla: $\vec{P_0P} \cdot \underline{n} = 0$.

A 2.1.2. Tétel szerint a skaláris szorzat koordinátákkal kifejezve: $\vec{P_0P} \cdot \underline{n} = (x - x_0)a + (y - y_0)b + (z - z_0)c$

Így a $\vec{P_0P} \cdot \underline{n} = 0$ beszorzás és átrendezés után épp az $ax + by + cz = ax_0 + by_0 + cz_0$ egyenletre vezet. □

Példafeladat: Sík egyenlete és pont illeszkedése

Feladat:

Adott az $S$ sík $P_0(2, -1, 4)$ pontja és $\underline{n} = (3, 5, -2)$ normálvektora.
a) Írja fel a sík egyenletét!
b) Rajta van-e a síkon a $Q(1, 1, 1)$ pont?

a) A sík egyenletének felírása

Behelyettesítünk a 2.1.7. Tétel képletébe ($a=3, b=5, c=-2$ és $x_0=2, y_0=-1, z_0=4$):

$3x + 5y - 2z = 3 \cdot 2 + 5 \cdot (-1) + (-2) \cdot 4$

$3x + 5y - 2z = 6 - 5 - 8$

$3x + 5y - 2z = -7$

b) Illeszkedés vizsgálata

Behelyettesítjük a $Q(1, 1, 1)$ koordinátáit a kapott egyenlet bal oldalába:

$3 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 3 + 5 - 2 = \mathbf{6}$

Mivel $6 \neq -7$, az egyenlet nem teljesül.

Következtetés

A pont koordinátái nem elégítik ki a sík egyenletét.
Válasz: A $Q$ pont nincs rajta a síkon.

5.7. A vektoriális szorzat

A térvektorok skaláris szorzatának fogalma a koordinátageometria egyik leghasznosabb segédeszköze. Van azonban egy másik, gyakran alkalmazott szorzatfogalom is a térvektorok körében, amely szintén sok feladat megoldását könnyíti.

A művelet jellege

A művelet elnevezését az indokolja, hogy itt a szorzat eredménye maga is egy térvektor. Fontos kiemelni, hogy a vektoriális szorzat csak térvektorokra értelmezett; ennek a fogalomnak semmilyen $\mathbb{R}^n$-re való kiterjesztése nem használatos.

2.4.15. Definíció:

Az $\underline{u}$ és $\underline{v}$ térvektorok vektoriális szorzata az az $\underline{u} \times \underline{v}$-vel jelölt térvektor, amelyre az alábbi feltételek fennállnak:

  • • Hossz: $|\underline{u} \times \underline{v}| = |\underline{u}| \cdot |\underline{v}| \cdot \sin \phi$, ahol $\phi$ a bezárt szögük;
  • • Irány: $\underline{u} \times \underline{v}$ merőleges $\underline{u}$-ra és $\underline{v}$-re is;
  • • Állás: $\underline{u}, \underline{v}$ és $\underline{u} \times \underline{v}$ (ebben a sorrendben) jobbsodrású rendszert alkot.
Ha $\underline{u} = \underline{0}$ vagy $\underline{v} = \underline{0}$, akkor definíció szerint $\underline{u} \times \underline{v} = \underline{0}$.

5.8. Tulajdonságok és koordinátás alak

A definícióból rögtön látszik, hogy ez a művelet nem kommutatív: $\underline{u} \times \underline{v}$ és $\underline{v} \times \underline{u}$ egymás ellentett vektorai.

Fizikai alkalmazások

A vektoriális szorzatnak több fizikai alkalmazása is van, például a forgatónyomaték vagy mágneses mezőben a töltésre ható erő meghatározásánál.

Geometriai haszon

Térkoordináta-geometriában azért hasznos, mert két (nem párhuzamos) vektorra merőleges vektor előállítására sok feladatban van szükség.

2.4.16. Tétel:

Legyenek $\underline{u} = (u_1, u_2, u_3)$ és $\underline{v} = (v_1, v_2, v_3)$ térvektorok. Ekkor:

$$\underline{u} \times \underline{v} = \left( \left| \begin{matrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{matrix} \right|, -\left| \begin{matrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{matrix} \right|, \left| \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{matrix} \right| \right)$$

Mnemotechnikai segítség

A tételbeli képlet megjegyzését segíti, ha azt az alábbi determináns alakban írjuk fel (ahol $\underline{i}, \underline{j}, \underline{k}$ az egységvektorok):

$$\underline{u} \times \underline{v} = \left| \begin{matrix} \underline{i} & \underline{j} & \underline{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{matrix} \right|$$

Példafeladat: Vektoriális szorzat kiszámítása

Feladat:

Adottak az $\underline{a} = (1, 2, -1)$ és $\underline{b} = (3, -1, 2)$ vektorok.
Számítsa ki az $\underline{a} \times \underline{b}$ vektoriális szorzatot!

1. A determinánsok felírása

A 2.4.16. Tétel alapján felírjuk a 2x2-es determinánsokat a komponensekkel:

$x = \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right| \quad y = -\left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \quad z = \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{matrix} \right|$

2. Számítás elvégzése

$x = (2 \cdot 2) - (-1 \cdot -1) = 4 - 1 = \mathbf{3}$

$y = -(1 \cdot 2 - (-1 \cdot 3)) = -(2 + 3) = \mathbf{-5}$

$z = (1 \cdot -1) - (2 \cdot 3) = -1 - 6 = \mathbf{-7}$

Végeredmény

$(3, -5, -7)$

Ellenőrzés: A kapott vektor skaláris szorzata mindkét eredeti vektorral 0 (merőlegesség).

5.8. Vektoriális szorzat kiszámítása

Levezetés a 2.4.16. Tétel determinánsos alakja alapján

5.9. Vektorok előállítása lineáris kombinációként

2.2.6. Állítás:

(i) Legyenek $\underline{a}, \underline{b} \in \mathbb{R}^3$ nem párhuzamos, az origón átmenő $S$ síkba eső vektorok. Ekkor minden, az $S$-re illeszkedő $\underline{v} \in \mathbb{R}^3$ vektor kifejezhető $\underline{v} = \alpha\underline{a} + \beta\underline{b}$ alakban.

(ii) Legyenek $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c} \in \mathbb{R}^3$ olyan térvektorok, amelyek nem illeszkednek közös (origón átmenő) síkra. Ekkor minden $\underline{v} \in \mathbb{R}^3$ vektor kifejezhető $\underline{v} = \alpha\underline{a} + \beta\underline{b} + \gamma\underline{c}$ alakban.

A tétel bizonyítása:

Legyen $\underline{v} = \vec{OP}$, ahol $O$ jelöli az origót.

Az (i) bizonyításához: Legyen az $O$-n átmenő, $\underline{a}$ irányvektorú egyenes $e$, a $P$-n átmenő, $\underline{b}$ irányvektorú egyenes pedig $f$. Mivel $e$ és $f$ nem párhuzamos, közös síkba eső egyenesek, ezért létezik a $Q$ metszéspontjuk. Ekkor $\underline{v} = \vec{OQ} + \vec{QP}$. Mivel $\vec{OQ}$, illetve $\vec{QP}$ párhuzamosak $\underline{a}$-val, illetve $\underline{b}$-vel, ezért $\vec{OQ} = \alpha\underline{a}$ és $\vec{QP} = \beta\underline{b}$ alkalmas $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ skalárokra.

A (ii) bizonyításához: Legyen $S$ az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ által kifeszített ($O$-n átmenő) sík, és messe a $P$-n átmenő, $\underline{c}$ irányvektorú egyenes $S$-et az $R$ pontban. Ekkor $\underline{v} = \vec{OR} + \vec{RP}$, ahol $\vec{RP} = \gamma\underline{c}$ alkalmas $\gamma \in \mathbb{R}$-re (mert $\underline{c}$ párhuzamos $\vec{RP}$-vel) és $\vec{OR} = \alpha\underline{a} + \beta\underline{b}$ alkalmas $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ skalárokra az (i) állítást felhasználva. □

Példafeladat: Vektor felbontása bázisvektorokra

Feladat:

Állítsa elő a $\underline{v} = (5, 7, 1)$ vektort az $\underline{a} = (1, 0, 0)$, $\underline{b} = (0, 1, 0)$ és $\underline{c} = (1, 1, 1)$ vektorok lineáris kombinációjaként!

1. Az egyenlet felírása

A 2.2.6. Állítás (ii) pontja alapján keressük azokat az $\alpha, \beta, \gamma$ skalárokat, melyekre:

$\alpha \cdot (1, 0, 0) + \beta \cdot (0, 1, 0) + \gamma \cdot (1, 1, 1) = (5, 7, 1)$

2. Komponensenkénti egyenletrendszer

  • x: $\alpha + \gamma = 5$
  • y: $\beta + \gamma = 7$
  • z: $\gamma = 1$

3. Megoldás levezetése

A $z$ koordinátából rögtön látszik, hogy $\gamma = 1$. Behelyettesítve:

  • $\beta + 1 = 7 \implies \mathbf{\beta = 6}$
  • $\alpha + 1 = 5 \implies \mathbf{\alpha = 4}$

Végeredmény

$\underline{v} = 4\underline{a} + 6\underline{b} + 1\underline{c}$

Ez azt jelenti, hogy a $\underline{v}$ vektor egyértelműen előállítható a megadott bázisban.

Interaktív Vektor-analizátor