BSz1 Jegyzet

14. Tétel:

Lineáris leképezés fogalma, mátrixa. Szükséges és elégséges feltétel egy függvény lineáris leképezés voltára. Lineáris leképezések kompozíciója (vagy szorzata), annak mátrixa. Következmény: addíciós tételek a sin és cos függvényekre.

14.1. A lineáris leképezés definíciója

A lineáris leképezések olyan speciális függvények, amelyek vektorterek elemeihez más vektorokat rendelnek hozzá úgy, hogy a leképezés hatása egy mátrixszal való szorzással írható le.

2.8.1. Definíció (Lineáris leképezés)

Az $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ függvényt lineáris leképezésnek hívjuk, ha létezik egy olyan $(k \times n)$-es $A$ mátrix, amelyre teljesül:

$f(\underline{x}) = A \cdot \underline{x} \quad \text{minden } \underline{x} \in \mathbb{R}^n \text{ esetén.}$

Lineáris transzformáció

Abban a speciális esetben, amikor az alap- és az érkezési halmaz megegyezik ($n = k$), az $f$-et lineáris transzformációnak is nevezzük.

Mátrix-jelölés

Ha $f(\underline{x}) = A \cdot \underline{x}$ minden $\underline{x} \in \mathbb{R}^n$-re, akkor azt mondjuk, hogy f mátrixa A, és ezt így jelöljük:

$A = [f]$

Kidolgozott példa: Mátrix meghatározása

Feladat:

Írja fel az $f(\underline{x}) = (3x_1 + x_2, 2x_2, x_1 - x_2)^T$ lineáris leképezés mátrixát!

Megoldás lépései:

Az $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ leképezés mátrixszorzatos alakja:

$$ \begin{pmatrix} 3x_1 + 1x_2 \\ 0x_1 + 2x_2 \\ 1x_1 - 1x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $$

Végeredmény

A leképezés mátrixa egy $(3 \times 2)$-es mátrix:
$[f] = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

14.2. A linearitás feltételei és a mátrix oszlopai

A lineáris leképezések legfontosabb jellemzője, hogy tiszteletben tartják a vektortér alapműveleteit: az összeadást és a skalárral való szorzást.

2.8.3. Tétel (A linearitás karakterizációja)

Az $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ függvény akkor és csak akkor lineáris leképezés, ha teljesül rá az alábbi két tulajdonság:

i. Additivitás

$f(\underline{x} + \underline{y}) = f(\underline{x}) + f(\underline{y})$

minden $\underline{x}, \underline{y} \in \mathbb{R}^n$ esetén.

ii. Homogenitás

$f(\lambda \cdot \underline{x}) = \lambda \cdot f(\underline{x})$

minden $\underline{x} \in \mathbb{R}^n$ és $\lambda \in \mathbb{R}$ esetén.

Ha $f$ teljesíti ezeket, akkor az $[f]$ mátrix egyértelmű, és annak minden $1 \le i \le n$ esetén az $i$-edik oszlopa pontosan az $f(\underline{e}_i)$ vektorral egyezik meg, ahol $\underline{e}_i$ a standard bázis vektora.

A tétel bizonyításának logikája:

Szükségesség:

Ha $f$ lineáris leképezés ($f(\underline{x}) = A\underline{x}$), akkor a mátrixszorzás tulajdonságai (2.5.8. Tétel) miatt az (i) és (ii) tulajdonságok automatikusan teljesülnek.

Egyértelműség:

A mátrixszorzás definíciójából tudjuk, hogy $A \cdot \underline{e}_i = \underline{a}_i$ (a mátrix $i$-edik oszlopa). Mivel $f(\underline{e}_i) = A \cdot \underline{e}_i$, ezért a mátrix oszlopait csakis a bázisvektorok képei alkothatják.

Elégségesség:

Ha a két tulajdonság teljesül, építsünk egy $A$ mátrixot az $f(\underline{e}_i)$ oszlopokból. Mivel minden $\underline{x}$ vektor felírható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként, a linearitási tulajdonságok miatt a leképezés hatása minden vektorra megegyezik az $A$ mátrixszal való szorzással.

Levezetett példa: Mátrix felírása bázisvektorokkal

Feladat:

Határozza meg az $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ lineáris transzformáció mátrixát, ha tudjuk, hogy: $f\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ és $f\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$.

Megoldás a 2.8.3. Tétel alapján:

A tétel szerint a mátrix oszlopai a standard bázisvektorok képei.

1. oszlop ($f(\underline{e}_1)$):

$\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$

2. oszlop ($f(\underline{e}_2)$):

$\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

Végeredmény

$[f] = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$

Ez a módszer sokkal gyorsabb, mint az egyenletrendszer felírása, ha ismerjük a bázisvektorok képeit.

14.3. Leképezések összetétele (szorzata)

A függvények kompozíciójának (egymás utáni alkalmazásának) fogalma a lineáris leképezések körében is értelmezhető. Ha $f$ és $g$ lineáris leképezések, akkor kompozíciójukat gyakran szorzatnak nevezzük a mátrixszorzással való szoros kapcsolata miatt.

2.8.5. Tétel (Leképezések szorzata)

Legyenek $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ és $g: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^m$ lineáris leképezések. Ekkor ezek $g \circ f$ szorzata is lineáris leképezés, amelyre:

$[g \circ f] = [g] \cdot [f]$

Szavakban: A szorzatleképezés mátrixa a tagok mátrixainak a megfelelő sorrendben vett szorzata.

A tétel bizonyítása:

Legyen $[f] = A$ és $[g] = B$. Ekkor minden $\underline{x} \in \mathbb{R}^n$-re $f(\underline{x}) = A \cdot \underline{x}$, és minden $\underline{y} \in \mathbb{R}^k$-ra $g(\underline{y}) = B \cdot \underline{y}$. Alkalmazzuk a kompozíciót egy tetszőleges $\underline{x}$ vektorra:

$(g \circ f)(\underline{x}) = g(f(\underline{x})) = g(A \cdot \underline{x}) = B \cdot (A \cdot \underline{x})$

A mátrixszorzás asszociativitását (2.5.8. Tétel (iii) állítása) kihasználva:

$B \cdot (A \cdot \underline{x}) = (B \cdot A) \cdot \underline{x}$

Ez pontosan azt mutatja, hogy a $g \circ f$ leképezés azonos a $B \cdot A$ mátrixszal való szorzással, tehát a kompozíció is lineáris leképezés, és mátrixa valóban $B \cdot A = [g] \cdot [f]$. □

Levezetett példa: Összetett leképezés mátrixa

Feladat:

Adott két transzformáció $\mathbb{R}^2$-en: $f$ a $45^\circ$-os forgatás, $g$ pedig az $x$-tengelyre való tükrözés. Határozza meg a $g \circ f$ (előbb forgatás, majd tükrözés) leképezés mátrixát!

Megoldás a 2.8.5. Tétel alapján:

A tétel szerint: $[g \circ f] = [g] \cdot [f]$.

Forgatás ($45^\circ$):

$[f] = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$

Tükrözés ($x$):

$[g] = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Végeredmény (Mátrixszorzással):

$[g \circ f] = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} = \mathbf{\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}}$

14.4. A sík elforgatásának mátrixa

A síkbeli vektorokon végzett geometriai műveletek (forgatás, tükrözés, nyújtás) tipikus példái a lineáris transzformációknak. Közülük kiemelkedő jelentőségű az origó körüli elforgatás, amelynek mátrixa közvetlenül levezethető a trigonometrikus függvények segítségével.

2.8.4. Állítás (Forgatás mátrixa)

Legyen $f_\alpha: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ az a függvény, amely minden $\underline{v} \in \mathbb{R}^2$ síkvektorhoz annak az origó körüli $\alpha$ szöggel való elforgatottját rendeli.

Ekkor $f_\alpha$ lineáris transzformáció, amelynek a mátrixa:

$$ [f_\alpha] = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} $$

Miért éppen ez a mátrix?

A 2.8.3. Tétel alapján a mátrix oszlopai a bázisvektorok képei. Ha az $\underline{e}_1 = (1, 0)^T$ vektort elforgatjuk $\alpha$ szöggel, a koordinátái éppen $(\cos \alpha, \sin \alpha)^T$ lesznek – ez alkotja a mátrix első oszlopát. Az $\underline{e}_2 = (0, 1)^T$ vektor elforgatottja pedig $(-\sin \alpha, \cos \alpha)^T$, ami a második oszlopot adja.

Kidolgozott példa: Forgatás 90 fokkal

Feladat:

Határozza meg a sík 90°-os pozitív irányú elforgatásának mátrixát, és számítsa ki a $\underline{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ vektor képét!

1. Mátrix felírása ($\alpha = 90^\circ$):

$\cos 90^\circ = 0, \quad \sin 90^\circ = 1$
$[f_{90^\circ}] = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

2. A vektor képének kiszámítása:

$$ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 \\ 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \mathbf{\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}} $$

Konklúzió

A $(2, 3)$ pontot 90 fokkal elforgatva a $(-3, 2)$ pontba jutunk, ami megfelel a geometriai várakozásainknak.

14.5. Az addíciós képletek levezetése

A lineáris leképezések elmélete, konkrétan a transzformációk összetétele, elegáns lehetőséget ad a trigonometria alapvető összefüggéseinek bizonyítására.

2.8.6. Tétel (Addíciós képletek)

Tetszőleges $\alpha$ és $\beta$ szögekre teljesülnek az alábbi összefüggések:

(i) $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta$

(ii) $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta$

A tétel bizonyítása:

Tekintsük az origó körüli $f_\alpha$ és $f_\beta$ elforgatásokat. Ezek lineáris leképezések, mátrixaikat a 2.8.4. Állításból ismerjük.

Nyilvánvaló, hogy ha egy vektort először $\beta$, majd $\alpha$ szöggel elforgatunk ($f_\alpha \circ f_\beta$), az megegyezik az $\alpha + \beta$ szöggel való egyszeri elforgatással ($f_{\alpha+\beta}$). A 2.8.5. Tétel szerint a kompozíció mátrixa a mátrixok szorzata:

$$ [f_{\alpha+\beta}] = [f_\alpha] \cdot [f_\beta] $$ $$ \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{pmatrix} $$

Végezzük el a mátrixszorzást a jobb oldalon! A szorzatbal felső eleme ($\cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta$) meg kell egyezzen a bal oldali mátrix megfelelő elemével, $\cos(\alpha+\beta)$-val. Hasonlóan, a bal alsó elemek egyenlőségéből adódik a $\sin(\alpha+\beta)$ képlete. □

Záró megjegyzés a 14. tételhez

Ezzel a levezetéssel látható, hogy a lineáris algebra eszköztára nemcsak az egyenletrendszerek megoldásában, hanem a klasszikus geometria és trigonometria tételeinek igazolásában is rendkívül hatékony.

Forgatás Mátrix Szimulátor

45°

A forgatás mátrixa:

Egy pont transzformációja

Eredeti (1, 0)
P
→
Új helyzet
(0.71, 0.71)

A csúszka mozgatásával figyeld meg, hogyan változnak a mátrix elemei és a pont új koordinátái!