BSz1 Jegyzet

16. Tétel:

Bázistranszformáció fogalma, lineáris transzformáció mátrixa adott bázis szerint, annak kiszámítása.

16.1. Bázistranszformáció

Gyakran előfordul, hogy egy lineáris transzformáció hatását egyszerűbb egy speciálisan megválasztott bázisban leírni, mint a standard bázisban. A bázistranszformáció tétele megadja az áttérés pontos matematikai receptjét.

2.8.12. Tétel (Bázistranszformáció) Legyen $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ lineáris transzformáció és $B$ egy olyan $(n \times n)$-es mátrix, amelynek az oszlopai bázist alkotnak $\mathbb{R}^n$-ben. Jelölje $g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ azt a függvényt, amely minden $\underline{x} \in \mathbb{R}^n$ esetén az $[\underline{x}]_B$ koordinátavektorhoz az $[f(\underline{x})]_B$ koordinátavektort rendeli. Ekkor $g$ is lineáris transzformáció, amelynek a mátrixa: $[g] = B^{-1} \cdot [f] \cdot B$

A tétel elméleti háttere:

A tétel bizonyításához és alkalmazásához be kell látnunk, hogy a $B^{-1}$ mátrix létezik:

A 2.2.28. Következmény szerint $\mathbb{R}^n$ bázisai pontosan az $n$ tagú lineárisan független vektorrendszerek.
A 2.5.16. Tétel alapján a $B$ mátrix oszlopainak lineáris függetlensége ekvivalens azzal, hogy $\det B \neq 0$.
Mivel $\det B \neq 0$, a 2.6.2. Tétel értelmében a $B^{-1}$ inverz mátrix valóban létezik.

Levezetett példafeladat

Feladat:

Adott a standard bázisbeli $[f]$ mátrix. Írja fel az áttérés képletét abba a $B$ bázisba, amelynek vektorai a $B$ mátrix oszlopai!

A transzformáció lépései:

1. Lépés

Szorzás $B$-vel: visszatérés a standard bázisba.

2. Lépés

Szorzás $[f]$-fel: a transzformáció elvégzése.

3. Lépés

Szorzás $B^{-1}$-zel: koordináták átszámítása $B$ bázisba.

Végeredmény

$[g] = B^{-1} \cdot [f] \cdot B$

Ezt a szerkezetet a mátrixok hasonlóságának is nevezzük.

16.2. A bizonyítás menete és a bázisváltó lemma

A bázistranszformáció tételének bizonyítása egy segédtételre, az úgynevezett bázisváltó lemmára épül, amely kapcsolatot teremt a koordinátavektorok és az eredeti vektorok között.

2.8.13. Lemma Legyen $h : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ az a függvény, amely minden $\underline{x} \in \mathbb{R}^n$ esetén az $[\underline{x}]_B$ koordinátavektorhoz magát az $\underline{x}$ vektort rendeli. Ekkor $h$ lineáris transzformáció, és mátrixa: $[h] = B$ A lemma szerint az inverz transzformáció mátrixa $[h^{-1}] = B^{-1}$, ami az $\underline{x}$ vektorhoz rendeli annak $[\underline{x}]_B$ koordinátáit.

A 2.8.12. Tétel bizonyítása:

A bizonyítás fő gondolata, hogy a $B$ bázisban értelmezett $g : [\underline{x}]_B \mapsto [f(\underline{x})]_B$ transzformáció felírható három leképezés egymás utáni elvégzéseként (kompozíciójaként):

1 $h : [\underline{x}]_B \mapsto \underline{x}$ (visszatérés standard bázisra)

2 $f : \underline{x} \mapsto f(\underline{x})$ (maga a transzformáció elvégzése)

3 $h^{-1} : f(\underline{x}) \mapsto [f(\underline{x})]_B$ (áttérés az új bázisra)

Vagyis a keresett leképezés: $g = h^{-1} \circ f \circ h$.

A 2.8.5. Tétel (Leképezések szorzata) alapján a kompozíció mátrixa a mátrixok megfelelő sorrendben vett szorzata:

$[g] = [h^{-1}] \cdot [f] \cdot [h] = B^{-1} \cdot [f] \cdot B$

Ezzel a tételt beláttuk. □

A szereplők összefoglalása

Mátrix: $B$

"Kifejezi az új bázist a régivel."

Mátrix: $B^{-1}$

"Kiszámolja a koordinátákat az új bázisban."

16.3. Jelölések és alapvető összefüggések

Fontos különbséget tenni egy transzformáció önmagában vett mátrixa és egy adott bázisra vonatkoztatott mátrixa között.

2.8.14. Definíció Legyen $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ lineáris transzformáció és $B$ bázis $\mathbb{R}^n$-ben. Ekkor a $g : [\underline{x}]_B \mapsto [f(\underline{x})]_B$ lineáris transzformáció mátrixát az $f$ transzformáció $B$ bázis szerinti mátrixának nevezzük. Ennek a jele: $[f]_B$ Megjegyzés: $[f]$ a transzformáció mátrixa a standard bázisban ($f(\underline{x}) = [f] \cdot \underline{x}$), míg $[f]_B$ a koordinátavektorok közötti kapcsolatot írja le.

2.8.15. Tétel (A bázis szerinti mátrix tulajdonságai) Legyen $B$ egy $(n \times n)$-es mátrix, melynek oszlopai bázist alkotnak. Ekkor az $[f]_B$ mátrixra teljesülnek az alábbiak: i. $[f(\underline{x})]_B = [f]_B \cdot [\underline{x}]_B$ minden $\underline{x} \in \mathbb{R}^n$-re; ii. $[f]_B = B^{-1} \cdot [f] \cdot B$; iii. Az $[f]_B$ mátrix $i$-edik oszlopa egyenlő az $[f(\underline{b}_i)]_B$ koordinátavektorral minden $1 \le i \le n$ esetén.

A tétel háttere:

• A (ii) állítást már beláttuk a 2.8.12. Tételben.

• Az (i) állítás közvetlenül következik a definícióból és a lineáris leképezés alapvető (2.8.1.) tulajdonságából.

• A (iii) állítás a 2.8.3. Tétel következménye: a transzformáció mátrixának oszlopai a bázisvektorok képei – jelen esetben a $B$ bázis vektorainak képei a $B$ bázisban kifejezve.

16. Tétel: Bázisváltás Kalkulátor

Vektor koordinátáinak meghatározása új bázisban

Új bázisvektorok (B')

b1:

b2:

Vektor (v) a standard bázisban