BSz1 Jegyzet

11. Tétel:

n × n-es lineáris egyenletrendszer egyértelmű megoldhatóságának jellemzése a determináns segítségével. Kapcsolat a lineáris egyenletrendszerek, az Rn -beli generált altérhez tartozás kérdése, illetve a mátrixszorzáson alapuló mátrixegyenletek között. Kapcsolat négyzetes mátrix determinánsa, illetve a sorok és az oszlopok lineáris függetlensége között.

11.1. Determináns és lineáris egyenletrendszerek

A determináns fogalma szorosan összekapcsolódik a lineáris egyenletrendszerek elméletével. Egy négyzetes együtthatómátrixú rendszer esetén a determináns értéke (pontosabban annak nulla vagy nem-nulla mivolta) közvetlenül megadja a megoldások számát.

2.4.11. Tétel

Legyen $(A|\underline{b})$ egy $n$ változós, $n$ egyenletből álló lineáris egyenletrendszer kibővített együtthatómátrixa. Ekkor az egyenletrendszer akkor és csak akkor egyértelműen megoldható, ha:

$\det A \neq 0$

A tétel bizonyításának logikája:

Futtassuk le az $(A|\underline{b})$ rendszeren a Gauss-eliminációt. Az elimináció lépései (sorcserék, szorzás nem-nulla skalárral, sorok kombinálása) megváltoztathatják a determináns értékét, de a 2.4.7. Tétel alapján a determináns nulla vagy nem-nulla mivoltát nem változtatják meg.

1. Nincs megoldás

Lépcsős alakban tilos sor keletkezik. Mivel a vonaltól balra csupa 0 áll az adott sorban, a mátrix determinánsa 0 lesz, tehát eredetileg is $\det A = 0$ volt.

2. Végtelen sok

Kevesebb sor marad, mint oszlop. Ez azt jelenti, hogy keletkezett legalább egy csupa nulla sor, így a determináns értéke 0.

3. Egyértelmű

A redukált lépcsős alak főátlójában csupa 1-es áll, mindenhol máshol 0. Ennek determinánsa 1, ami nem nulla, tehát eredetileg is $\det A \neq 0$ volt.

Példafeladat: Megoldhatóság elemzése

Feladat:

Egyértelműen megoldható-e az alábbi egyenletrendszer? $$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x + 6y = 12 \end{cases} $$

Az együtthatómátrix:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} $$

A determináns:

$$ \det A = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 4 = \mathbf{0} $$

Konklúzió

Mivel $\det A = 0$, a 2.4.11. Tétel értelmében az egyenletrendszer nem megoldható egyértelműen. (Ebben az esetben a rendszer ellentmondásos, nincs megoldása.)

11.2. Mátrixszorzás és lineáris egyenletrendszerek

A lineáris egyenletrendszerek nem csupán egyenletek halmazaként, hanem egyetlen mátrixegyenletként is felfoghatók. Ez az átírás segít megérteni, hogy a megoldás létezése valójában egy vektortér-beli kérdés.

2.5.14. Tétel (Ekvivalencia)

Legyenek $\underline{a}_1, \underline{a}_2, \dots, \underline{a}_n, \underline{b} \in \mathbb{R}^k$ vektorok, és legyen $A$ az $\underline{a}_i$-k egyesítésével keletkező $(k \times n)$-es mátrix. Ekkor az alábbi állítások ekvivalensek (ha bármelyik igaz, a többi is az):

i

Megoldható az $A \cdot \underline{x} = \underline{b}$ mátrixegyenlet.

ii

Megoldható az $(A|\underline{b})$ kibővített mátrixú lineáris egyenletrendszer.

iii

$\underline{b} \in \langle \underline{a}_1, \underline{a}_2, \dots, \underline{a}_n \rangle$, azaz $\underline{b}$ előáll az oszlopvektorok lineáris kombinációjaként.

A levezetés logikája:

A 3. állítás teljesülése azt jelenti, hogy léteznek olyan $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ skalárok, melyekre fennáll a $\lambda_1 \underline{a}_1 + \dots + \lambda_n \underline{a}_n = \underline{b}$ lineáris kombináció.

Ha ezt koordinátánként (minden $1 \le i \le k$ esetén) felírjuk, megkapjuk az egyenletrendszer általános alakját: $a_{i,1}\lambda_1 + a_{i,2}\lambda_2 + \dots + a_{i,n}\lambda_n = b_i$

Ez pedig a mátrixszorzás definíciója szerint pontosan az $A\underline{x}$ szorzat $i$-edik koordinátája, ahol $\underline{x} = (\lambda_1, \dots, \lambda_n)^T$. Ezzel az állítások közötti kapcsolatot beláttuk.

Levezetett példafeladat

Feladat:

Írja fel az alábbi egyenletrendszert az oszlopvektorok lineáris kombinációjaként! $$ \begin{cases} 2x + 5y = 10 \\ 3x - 1y = 4 \end{cases} $$

Megoldás lépései:

1. Oszlopvektorok azonosítása:

$\underline{a}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \underline{a}_2 = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad \underline{b} = \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}$

2. Lineáris kombináció felírása:

$x \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}$

Konklúzió

Az egyenletrendszer megoldása (az $x$ és $y$ értékek) pontosan azokat a súlyokat jelenti, amelyekkel az oszlopvektorokat összeadva megkapjuk a $\underline{b}$ vektort.

11.3. Homogén rendszerek és lineáris függetlenség

Egy lineáris egyenletrendszert homogénnek nevezünk, ha a jobb oldali konstansvektor a nullvektor ($\underline{b} = \underline{0}$). Az ilyen rendszerek vizsgálata alapvető fontosságú a vektorok közötti függőségi viszonyok meghatározásakor.

2.5.15. Következmény

Legyenek $\underline{a}_1, \underline{a}_2, \dots, \underline{a}_n \in \mathbb{R}^k$ vektorok, és $A$ az ezekből képzett mátrix. Ekkor az alábbi állítások ekvivalensek:

i

Az $A \cdot \underline{x} = \underline{0}$ lineáris egyenletrendszernek egyetlen megoldása a triviális $\underline{x} = \underline{0}$ megoldás.

ii

Az $\underline{a}_1, \underline{a}_2, \dots, \underline{a}_n$ vektorok lineárisan függetlenek.

A következmény bizonyítása:

A lineáris függetlenség definíciója szerint az $\underline{a}_1, \dots, \underline{a}_n$ vektorok akkor és csak akkor függetlenek, ha a $\lambda_1 \underline{a}_1 + \dots + \lambda_n \underline{a}_n = \underline{0}$ összefüggés csak a triviális esetben (vagyis $\lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$ esetén) teljesül.

Az előző tétel (2.5.14.) értelmében ez a lineáris kombináció ekvivalens az $A \cdot \underline{x} = \underline{0}$ mátrixegyenlettel, ahol az $\underline{x}$ vektor koordinátái éppen a $\lambda_i$ skalárok.

Tehát a függetlenség feltétele pontosan azt jelenti, hogy az egyenletrendszerben minden változó értéke 0 kell, hogy legyen. □

Levezetett példafeladat

Feladat:

Döntse el a következmény segítségével, hogy lineárisan függetlenek-e az alábbi vektorok: $\underline{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \underline{a}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Elemzés:

Írjuk fel a homogén egyenletrendszert:

$x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies \begin{cases} x + y = 0 \\ y = 0 \end{cases}$

A második egyenletből $y = 0$, amit az elsőbe helyettesítve $x = 0$ adódik.

Végeredmény

Mivel csak a triviális ($x=0, y=0$) megoldás létezik, a 2.5.15. Következmény alapján a vektorok lineárisan függetlenek.

11.4. Sorok és oszlopok függetlensége

Ez a tétel a lineáris algebra egyik sarokköve, mert kimondja, hogy egy négyzetes mátrix determinánsa pontosan akkor nem nulla, ha a mátrixot felépítő vektorok (akár sor-, akár oszlopvektorként tekintünk rájuk) nem hordoznak felesleges információt.

2.5.16. Tétel

Legyen $A$ egy $(n \times n)$-es mátrix. Ekkor az alábbi állítások ekvivalensek:

i

A mátrix oszlopai, mint $\mathbb{R}^n$-beli vektorok lineárisan függetlenek.

ii

$\det A \neq 0$

iii

A mátrix sorai, mint $n$ hosszú sorvektorok lineárisan függetlenek.

A tétel bizonyítása:

(i) $\iff$ (ii): Az oszlopok függetlensége (a 2.5.15. következmény alapján) ekvivalens azzal, hogy az $(A|\underline{0})$ homogén rendszernek csak a triviális megoldása létezik. Mivel a mátrix négyzetes, a 2.4.11. tétel szerint ez pontosan akkor áll fenn, ha $\det A \neq 0$.

(ii) $\iff$ (iii): Alkalmazzuk a fenti gondolatmenetet $A$ transzponáltjára ($A^T$). Mivel $A^T$ oszlopai $A$ sorai, ezek függetlensége $\det A^T \neq 0$-t igényel. Mivel azonban $\det A = \det A^T$, ez azonos a $\det A \neq 0$ feltétellel. □

Levezetett példafeladat

Feladat:

Lineárisan függetlenek-e a $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ és $\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ vektorok?

Képezzünk belőlük mátrixot és vizsgáljuk meg a determinánsát!

$\det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} = 1 \cdot 6 - 3 \cdot 2 = \mathbf{0}$

Végeredmény a 2.5.16. Tétel alapján

Mivel a determináns értéke 0, az (ii) állítás nem teljesül, így az (i) sem: a vektorok nem lineárisan függetlenek (vagyis lineárisan összefüggők).

Bázis- és Megoldhatóság Analizátor

Írd be egy $2 \times 2$-es mátrix adatait, és vizsgáld meg a rendszert!