BSz1 Jegyzet

13. Tétel:

Mátrix rangja, a rangfogalmak egyenlősége, a rang meghatározása. Kapcsolat a mátrix rangja és az oszlopai által generált altér dimenziója között.

13.1. A mátrix rangja és a részmátrixok

Egy $(k \times n)$-es mátrix kétféleképpen is értelmezhető vektorrendszerként: oszlopait $n$ darab $\mathbb{R}^k$-beli vektornak, sorait pedig $k$ darab $n$ hosszú sorvektornak tekinthetjük. A mátrixrang fogalma lehetővé teszi, hogy a függetlenségi viszonyokat tetszőleges (nem csak négyzetes) mátrixokra is általánosítsuk.

2.7.1. Definíció (Négyzetes részmátrix) Legyen $A$ egy $(k \times n)$-es mátrix és $r \le k, n$ egy egész szám. Válasszunk ki tetszőlegesen $A$ sorai és oszlopai közül $r-r$ darabot. A kiválasztott sorok és oszlopok kereszteződéseiben kialakuló $(r \times r)$-es mátrixot az $A$ egy négyzetes részmátrixának nevezzük. Megjegyzés: Ez a fogalom hasonló a kifejtési tételnél megismert aldeterminánshoz, de lényeges különbség, hogy négyzetes részmátrixai minden (akár téglalap alakú) mátrixnak vannak.

Példa: részmátrix kiválasztása

Ha $A$ egy $(5 \times 10)$-es mátrix, akkor a 2., 3. és 5. sorának, valamint a 3., 7. és 9. oszlopának kiválasztásával egy $(3 \times 3)$-as $M$ részmátrixot kapunk:

$$ M = \begin{pmatrix} a_{2,3} & a_{2,7} & a_{2,9} \\ a_{3,3} & a_{3,7} & a_{3,9} \\ a_{5,3} & a_{5,7} & a_{5,9} \end{pmatrix} $$

2.7.2. Definíció (A rang típusai) Legyen $A$ tetszőleges mátrix. Értelmezhetjük az alábbi rang-fogalmakat: I. Oszloprang A mátrix oszloprangja $r$, ha oszlopai közül kiválasztható $r$ darab lineárisan független vektor, de $r+1$ már nem. II. Sorrang A mátrix sorrangja $r$, ha sorai közül kiválasztható $r$ darab lineárisan független sorvektor, de $r+1$ már nem. III. Determinánsrang A mátrix determinánsrangja $r$, ha van nemnulla determinánsú $(r \times r)$-es részmátrixa, de $(r+1) \times (r+1)$-es már nincs.

Megjegyzés: Később a 2.7.3. Tétel kimondja, hogy ez a három érték minden mátrixra azonos.

13.2. A rangszám tétel

Bár az oszloprangot ($o(A)$), a sorrangot ($s(A)$) és a determinánsrangot ($d(A)$) látszólag teljesen eltérő módon definiáltuk, a lineáris algebra egyik legfontosabb tétele kimondja ezek azonosságát.

2.7.3. Tétel (Rangszám tétel) Minden $A$ mátrixra teljesül az alábbi egyenlőség: $o(A) = s(A) = d(A)$ Ez azt jelenti, hogy egy mátrixban a lineárisan független oszlopok maximális száma megegyezik a lineárisan független sorok maximális számával, és ez megegyezik a legnagyobb nemnulla determinánsú négyzetes részmátrix rendjével is.

2.7.5. Definíció (A mátrix rangja) Az $A$ mátrix rangjának nevezzük és $r(A)$ -val jelöljük az $o(A)$, $s(A)$ és $d(A)$ közös értékét.

Miért fontos ez?

A tétel lehetővé teszi, hogy a rang meghatározásához mindig a számunkra legkényelmesebb módszert válasszuk. Ha egy mátrixnak sok sora van, de kevés oszlopa, érdemesebb az oszlopok függetlenségét vizsgálni, az eredmény ugyanaz lesz.

13.3. A rang és a generált altér kapcsolata

A mátrix rangja szoros kapcsolatban áll az oszlopvektorok által generált altér dimenziójával. Ez az összefüggés lehetővé teszi, hogy a rangot geometriai szempontból is értelmezzük.

2.7.6. Tétel Legyen $A$ egy $(k \times n)$-es mátrix, melynek oszlopvektorai $\underline{a}_1, \underline{a}_2, \dots, \underline{a}_n$. Ekkor a mátrix rangja megegyezik az oszlopai által generált altér dimenziójával: $r(A) = \dim\langle\underline{a}_1, \underline{a}_2, \dots, \underline{a}_n\rangle$

A tétel részletes bizonyítása:

1. Válasszunk ki $A$ oszlopai közül a lehető legtöbb lineárisan független vektort. Ezek száma az oszloprang definíciója szerint $r = r(A)$. Tegyük fel (az oszlopok sorrendje lényegtelen), hogy ezek az első $r$ darab oszlop: $\underline{a}_1, \underline{a}_2, \dots, \underline{a}_r$.

2. Megmutatjuk, hogy ez az $r$ darab vektor bázist alkot a $W = \langle\underline{a}_1, \dots, \underline{a}_n\rangle$ altérben.

Lineárisan függetlenek a kiválasztásunk miatt.
Be kell látni, hogy generálják $W$-t. Legyen $U = \langle\underline{a}_1, \dots, \underline{a}_r\rangle$. Nyilván $U \subseteq W$.

3. Vizsgáljunk egy tetszőleges $r < i \le n$ indexű $\underline{a}_i$ vektort. Mivel $r$ a független oszlopok maximális száma, az $\underline{a}_1, \dots, \underline{a}_r, \underline{a}_i$ rendszer már lineárisan összefüggő.

4. Az "újonnan érkező vektor" lemmája (2.2.14.) szerint ekkor $\underline{a}_i \in \langle\underline{a}_1, \dots, \underline{a}_r\rangle = U$. Tehát minden oszlopvektor benne van $U$-ban. Mivel az altér zárt az összeadásra és skalárral szorzásra, a vektorok minden lineáris kombinációja is $U$-beli. Ezzel beláttuk, hogy $W \subseteq U$, tehát $W = U$.

Mivel $W$ bázisa $r$ elemű, a dimenziója pontosan $r$, ami a mátrix rangja. □

Levezetett példafeladat

Feladat:

Határozza meg az $A$ mátrix rangját az oszlopai által generált altér dimenziójának vizsgálatával! $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

1. Oszlopvektorok felírása:

$\underline{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \underline{a}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \underline{a}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

2. Lineáris függőség vizsgálata:

Vegyük észre, hogy $\underline{a}_1 + \underline{a}_2 = \underline{a}_3$.

Mivel $\underline{a}_3$ előáll a többi lineáris kombinációjaként, nem növeli az altér dimenzióját. Az $\underline{a}_1$ és $\underline{a}_2$ vektorok viszont lineárisan függetlenek (egyik sem skalárszorosa a másiknak).

Konklúzió

$\dim\langle\underline{a}_1, \underline{a}_2, \underline{a}_3\rangle = 2$

A 2.7.6. Tétel alapján a mátrix rangja: r(A) = 2.

13.4. A rang kiszámítása

A mátrix rangjának meghatározása alapvető algoritmikus feladat, amelyre a legalkalmasabb eszköz a Gauss-elimináció egy változata. Ebben a folyamatban tetszőleges mátrixra alkalmazzuk a sorekvivalens lépéseket, ahol az utolsó oszlopnak nincs speciális szerepe.

2.7.9. Állítás (Rang és sorekvivalencia) i Az elemi sorekvivalens lépések a mátrix rangját nem változtatják meg . ii Lépcsős alakú mátrix rangja egyenlő a sorainak a számával .

A bizonyítás logikája:

(i) pont bizonyítása:

A mátrix oszlopainak függetlensége ekvivalens azzal, hogy a hozzájuk tartozó $A' \cdot \underline{x} = \underline{0}$ homogén rendszernek csak a triviális megoldása létezik. A sorekvivalens lépések a homogén egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg (2.3.2. Állítás), így az oszlopok közötti függetlenségi viszonyok és ezzel az oszloprang sem változik.

(ii) pont bizonyítása:

Legyen a lépcsős alakú mátrix sorainak száma $k$. Ha kiválasztjuk a vezéregyeseket tartalmazó oszlopokat, egy $M$ négyzetes részmátrixot kapunk, amely egy felsőháromszög-mátrix.

Mivel a főátlóban csupa 1-es áll (a vezéregyesek), ezért $\det M = 1 \neq 0$. Ez azt jelenti, hogy a mátrix determinánsrangja legalább $k$. Mivel a mátrixnak összesen csak $k$ sora van, ennél nagyobb rangja nem is lehet, tehát a rang pontosan $k$. □

Kidolgozott példa: Rang meghatározása

Feladat:

Határozza meg a rangot sorekvivalens átalakítások segítségével! $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$

1. Elimináció:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{S_2 - 2S_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{sorcsere}} \begin{pmatrix} \mathbf{1} & 2 & 3 \\ 0 & \mathbf{1} & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Konklúzió

A lépcsős alakban a nem-nulla sorok száma 2 (a vezéregyesek száma).
A 2.7.9. Állítás (ii) pontja alapján a mátrix rangja: r(A) = 2.