BSz1 Jegyzet

10. Tétel:

A determinánsok kifejtési tétele (biz. nélkül). Műveletek mátrixokkal (összeadás, skalárral szorzás, szorzás, transzponálás), ezek tulajdonságai. A transzponált determinánsa. Determinánsok szorzástétele (biz. nélkül).

10.1. Az előjeles aldermináns fogalma

A determinánsok kifejtéséhez szükségünk van az „előjeles aldetermináns” fogalmára, amely lehetővé teszi, hogy egy $(n \times n)$-es determinánst $(n-1 \times n-1)$-es determinánsok segítségével számoljunk ki.

2.4.12. Definíció (Előjeles aldetermináns):

Az $(n \times n)$-es $A$ mátrix $a_{i,j}$ eleméhez tartozó előjeles aldeterminánst ($A_{i,j}$) úgy kapjuk, hogy az $A$-ból elhagyjuk az $i$-edik sort és a $j$-edik oszlopot, majd a kapott $(n-1) \times (n-1)$-es mátrix determinánsát megszorozzuk $(-1)^{i+j}$-nel.

$A_{i,j} = (-1)^{i+j} \cdot \det(A \text{ az } i. \text{ sor és } j. \text{ oszlop nélkül})$

A sakktáblaszabály

Az $A_{i,j}$ definíciójában szereplő $(-1)^{i+j}$ előjelet sakktáblaszabálynak is nevezzük, mert az $i$ és $j$ függvényében úgy változik, mint a sakktábla mezőinek színei (pozitív a bal felső sarok, és onnan váltakozik).

+   -   +   ...
-   +   -   ...
+   -   +   ...
...

2.7. ábra: Az előjelek eloszlása a mátrixban

10.2. A determinánsok kifejtési tétele

A tétel kimondja, hogy egy mátrix determinánsa megkapható, ha egy tetszőlegesen választott sor (vagy oszlop) elemeit megszorozzuk a hozzájuk tartozó előjeles aldeterminánsokkal, és ezeket összeadjuk.

2.4.7. Tétel (Kifejtési tétel - biz. nélkül):

Tetszőleges $i \in \{1, \dots, n\}$ sor szerinti kifejtés esetén:

$\det(A) = a_{i,1}A_{i,1} + a_{i,2}A_{i,2} + \dots + a_{i,n}A_{i,n}$

Ugyanez érvényes tetszőleges $j$ oszlop szerinti kifejtésre is.

Példafeladat: Kifejtés 0-t tartalmazó sor szerint

Számítsa ki a determinánst a 2. sor szerint!

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \mathbf{4} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$

A kifejtési tétel szerint csak a nemnulla elemekkel kell foglalkoznunk:

$\det(A) = 4 \cdot A_{2,1} + 0 \cdot A_{2,2} + 0 \cdot A_{2,3}$
$\det(A) = 4 \cdot [(-1)^{2+1} \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}]$

Végeredmény

$\det(A) = 4 \cdot (-1) \cdot (18 - 24) = 4 \cdot (-1) \cdot (-6) = \mathbf{24}$

Látható, hogy a sok nullát tartalmazó sor szerinti kifejtés jelentősen leegyszerűsíti a számolást.

Kidolgozott példa: $4 \times 4$-es kifejtés

Fejtsük ki az alábbi determinánst a második oszlopa szerint!

$$ \begin{vmatrix} 2 & \mathbf{3} & 4 & 5 \\ 6 & \mathbf{7} & 8 & 9 \\ 10 & \mathbf{11} & 12 & 13 \\ 14 & \mathbf{15} & 16 & 17 \end{vmatrix} $$

A sakktáblaszabály szerinti előjelek a 2. oszlopban: $-, +, -, +$

$= -3 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 8 & 9 \\ 10 & 12 & 13 \\ 14 & 16 & 17 \end{vmatrix} + 7 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 & 5 \\ 10 & 12 & 13 \\ 14 & 16 & 17 \end{vmatrix} - 11 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 & 5 \\ 6 & 8 & 9 \\ 14 & 16 & 17 \end{vmatrix} + 15 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 & 5 \\ 6 & 8 & 9 \\ 10 & 12 & 13 \end{vmatrix}$

Megfigyelés

A kifejtés után kaptunk négy darab $3 \times 3$-as determinánst. Ezeket tovább fejthetjük vagy Sarrus-szabállyal kiszámolhatjuk. Az előjelek ($-3, +7, -11, +15$) pontosan követik az $A_{i,j}$ definíciójában rögzített sakktáblaszabályt.

10.3. Mátrixok összeadása és skalárral szorzása

A mátrixokra nemcsak táblázatokként, hanem önálló matematikai objektumokként is tekinthetünk, amelyeken műveleteket értelmezünk. Ezek a műveletek tagonként (elemenként) valósulnak meg.

2.5.1. Definíció

Adott $k, n \ge 1$ egészek esetén $(k \times n)$-es mátrixnak nevezünk egy $k$ sorból és $n$ oszlopból álló táblázatot, amelynek minden cellájában egy valós szám áll. A $(k \times n)$-es mátrixok halmazát $\mathbb{R}^{k \times n}$ jelöli.

Mátrixok összeadása ($A + B$)

Két azonos méretű mátrixot tagonként adunk össze:

$$ (a_{i,j}) + (b_{i,j}) = (a_{i,j} + b_{i,j}) $$

Skalárral való szorzás ($\lambda \cdot A$)

Egy mátrixot egy $\lambda$ valós számmal úgy szorzunk meg, hogy a mátrix minden elemét megszorozzuk $\lambda$-val:

$$ \lambda \cdot (a_{i,j}) = (\lambda a_{i,j}) $$

Kidolgozott példa: Mátrix-kombináció

Feladat:

Adott $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ és $B = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. Számítsa ki a $2A + B$ mátrixot!

1. Skalárral szorzás ($2A$)

$2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot (-2) \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \mathbf{\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}}$

2. Összeadás ($2A + B$)

$\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+4 & -4+5 \\ 0-1 & 6+2 \end{pmatrix} = \mathbf{\begin{pmatrix} 6 & 1 \\ -1 & 8 \end{pmatrix}}$

Konklúzió

A mátrixműveletek során a méreteknek meg kell egyezniük: csak $(k \times n)$-es mátrixot tudunk $(k \times n)$-es mátrixszal összeadni.

10.4. Az összeadás és skalárral szorzás tulajdonságai

A mátrixok körében értelmezett összeadás és skalárral szorzás nagyon hasonlóan viselkedik a valós számoknál megszokott műveletekhez. Ezt foglalja össze az alábbi tétel:

2.5.2. Tétel (Műveleti tulajdonságok)

Legyenek $A, B, C \in \mathbb{R}^{k \times n}$ azonos méretű mátrixok és $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ skalárok. Ekkor:

i $A + B = B + A$ (kommutatív)
ii $(A+B)+C = A+(B+C)$ (asszociatív)
iii $\lambda \cdot (A + B) = \lambda A + \lambda B$
iv $(\lambda + \mu) \cdot A = \lambda A + \mu A$
v $\lambda \cdot (\mu \cdot A) = (\lambda \mu) \cdot A$

Mátrixok kivonása

A mátrixok kivonását a skalárral szorzás segítségével vezetjük vissza az összeadásra:

$A - B = A + (-1) \cdot B$

A nullmátrix (0)

A csupa nulla elemet tartalmazó mátrixot nullmátrixnak nevezzük. Ennek minden eleme 0, és bármely $A$ mátrixhoz adva:

$A + 0 = A$

Megjegyzés: Vektorok mint mátrixok

A sor- és oszlopvektorok valójában speciális mátrixok: egy $n$ hosszú sorvektor $(1 \times n)$-es, egy $n$ magas oszlopvektor pedig $(n \times 1)$-es mátrixnak tekinthető. Ezért az $\mathbb{R}^n$-ben értelmezett műveletek a mátrixműveletek speciális esetei.

10.5. A mátrix transzponáltja

Egy mátrixra kétféleképpen is tekinthetünk: mint egymás mellé írt oszlopvektorok sorozatára, vagy mint egymás alá írt sorvektorok listájára. A transzponálás művelete teszi lehetővé az egyszerű átjárást e két szemlélet között.

2.5.3. Definíció

Egy $(k \times n)$-es $A$ mátrix transzponáltjának nevezzük azt az $(n \times k)$-as $B$ mátrixot, amelyre teljesül, hogy minden $1 \le i \le n$ és $1 \le j \le k$ esetén:

$b_{i,j} = a_{j,i}$

Ennek jele: $B = A^T$.

Szemléletesen a transzponálás során a mátrix sorait oszlopokká (vagy oszlopait sorokká) alakítjuk, ami lényegében a mátrix főátlóra való tükrözését jelenti.

2.5.4. Tétel (Determináns és transzponált)

Minden $A$ négyzetes mátrixra:

$\det A^T = \det A$

Ez a tétel rendkívül fontos, mert azt jelenti, hogy minden, amit eddig a determináns sorairól tanultunk (pl. kifejtési tétel, sorműveletek hatása), változatlanul érvényes a mátrix oszlopaira is.

Kidolgozott példa: Transzponálás

Adott az alábbi mátrix:

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$

A transzponált felírása

Az 1. sorból lesz az 1. oszlop, a 2. sorból pedig a 2. oszlop:

$$ A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} $$

Megfigyelhető, hogy a $(2 \times 3)$-as mátrixból $(3 \times 2)$-es mátrix lett.

10.6. Mátrixok szorzása

A mátrixokkal végezhető műveletek közül a szorzás az egyik legfontosabb. Fontos különbség az összeadáshoz képest, hogy itt a két mátrix mérete nem kell, hogy megegyezzen, de egy speciális illeszkedési szabálynak teljesülnie kell.

2.5.5. Definíció (Mátrixszorzás)

Egy $(k \times n)$-es $A$ és egy $(n \times m)$-es $B$ mátrix szorzatának nevezzük azt a $(k \times m)$-es $C$ mátrixot, amelyre minden $1 \le i \le k$ és $1 \le j \le m$ esetén:

$c_{i,j} = a_{i,1} \cdot b_{1,j} + a_{i,2} \cdot b_{2,j} + \dots + a_{i,n} \cdot b_{n,j}$
Méret-szabály: A szorzat csak akkor értelmezhető, ha $A$ oszlopainak száma megegyezik $B$ sorainak számával ($n$). A végeredmény sorainak száma $A$-éval, oszlopainak száma $B$-ével egyezik meg.

A számolás logikája: Sor-oszlop szorzás

A $c_{i,j}$ elemet úgy kapjuk, hogy az $A$ mátrix $i$-edik sorának elemeit tagonként összeszorozzuk a $B$ mátrix $j$-edik oszlopának elemeivel, majd ezeket a szorzatokat összeadjuk.

Kidolgozott példa: Szorzás lépésről lépésre

Számítsa ki az $A \cdot B$ szorzatot!

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ $\cdot$ $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$
1. sor $\cdot$ 1. oszlop ($c_{1,1}$):

$1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 5 + 14 = \mathbf{19}$

1. sor $\cdot$ 2. oszlop ($c_{1,2}$):

$1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 6 + 16 = \mathbf{22}$

2. sor $\cdot$ 1. oszlop ($c_{2,1}$):

$3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 15 + 28 = \mathbf{43}$

2. sor $\cdot$ 2. oszlop ($c_{2,2}$):

$3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 18 + 32 = \mathbf{50}$

Végeredmény

$$ A \cdot B = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix} $$

Mátrix Dimenzió & Szorzás Ellenőrző

Mátrix "A" típusa

sor × oszlop

Mátrix "B" típusa

sor × oszlop

Szorzat (A·B) állapota

MEGVALÓSÍTHATÓ
Eredmény: 2 × 2 mátrix

10. Tétel: Mátrixszorzás

Két 2x2-es mátrix szorzásának vizuális levezetése

"A" Mátrix

"B" Mátrix

10.7. A mátrixszorzás műveleti tulajdonságai

Bár a mátrixszorzás definíciója eltér a számoknál megszokottól, számos fontos azonosság érvényes marad. Ezek a tulajdonságok biztosítják, hogy a mátrixkifejezésekkel végzett algebrai átalakítások konzisztensek legyenek.

2.5.8. Tétel (A szorzás tulajdonságai)

Az alábbi összefüggések bármely $A, B$ és $C$ mátrixra és $\lambda \in \mathbb{R}$ skalárra fennállnak (feltéve, hogy a műveletek a méretek alapján elvégezhetők):

i
$(\lambda A) \cdot B = \lambda(A \cdot B) = A \cdot (\lambda B)$
(Homogenitás)
ii
$A(B + C) = AB + AC$
$(B + C)A = BA + CA$
(Disztributivitás)
iii
$(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$
(Asszociativitás)

Vigyázat: Nem kommutatív!

A mátrixszorzás általában nem felcserélhető ($AB \neq BA$). Ezért a disztributivitásnál (ii. pont) külön ki kell mondani a balról és jobbról való beszorzást!

10.8. A 2.5.8. Tétel részletes bizonyítása

1. A skalárral való szorzás (Homogenitás) igazolása

Legyen $A \in \mathbb{R}^{k \times n}$ és $B \in \mathbb{R}^{n \times m}$, valamint $\lambda \in \mathbb{R}$ egy tetszőleges skalár. Belátjuk a $(\lambda A) \cdot B = \lambda(A \cdot B)$ egyenlőséget az elemek szintjén.

Bal oldal: Jelölje $A'$ a $(\lambda A)$ mátrixot. Ennek elemei $a'_{i,r} = \lambda \cdot a_{i,r}$. A szorzat $(i,j)$ eleme:

$((A')B)_{i,j} = \sum_{r=1}^n a'_{i,r} \cdot b_{r,j} = \sum_{r=1}^n (\lambda \cdot a_{i,r}) \cdot b_{r,j}$

Átalakítás: Mivel a valós számok szorzása asszociatív és a szumma minden tagjában szerepel $\lambda$, az kiemelhető:

$\sum_{r=1}^n \lambda \cdot (a_{i,r}b_{r,j}) = \lambda \cdot \left( \sum_{r=1}^n a_{i,r}b_{r,j} \right) = \lambda \cdot (AB)_{i,j}$

Ugyanez a gondolatmenet alkalmazható a $\lambda$-nak a második tényezőhöz ($B$) való társításakor is.

2. A disztributivitás (eloszthatóság) igazolása

Legyen $A \in \mathbb{R}^{k \times n}$ és tegyük fel, hogy $B, C \in \mathbb{R}^{n \times m}$ azonos méretűek. Vizsgáljuk az $A(B+C)$ szorzat $(i,j)$ elemét:

Az összeadás definíciója szerint a $(B+C)$ mátrix $r$-edik sorának $j$-edik eleme $(b_{r,j} + c_{r,j})$. A szorzási szabály alapján:

$(A(B+C))_{i,j} = \sum_{r=1}^n a_{i,r} \cdot (b_{r,j} + c_{r,j})$

A valós számok disztributivitását használva a szummán belül:

$\sum_{r=1}^n (a_{i,r}b_{r,j} + a_{i,r}c_{r,j})$

Mivel véges összegeknél a tagok tetszőlegesen csoportosíthatók, bontsuk két külön szummára:

$\sum_{r=1}^n a_{i,r}b_{r,j} + \sum_{r=1}^n a_{i,r}c_{r,j} = (AB)_{i,j} + (AC)_{i,j}$

Ezzel beláttuk, hogy a szorzat összege a részszorzatok összegével egyenlő.

3. Az asszociativitás (társíthatóság) igazolása

Legyen $A \in \mathbb{R}^{k \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ és $C \in \mathbb{R}^{m \times t}$. Belátjuk, hogy $(AB)C = A(BC)$. Ehhez a szorzat egy tetszőleges $(i,j)$ elemét írjuk fel.

BAL OLDAL: $(AB)C$ elemzése

Legyen $X = AB$. Ennek eleme: $x_{i,s} = \sum_{r=1}^n a_{i,r}b_{r,s}$.

Ekkor az $XC = (AB)C$ mátrix $(i,j)$ eleme:

$((AB)C)_{i,j} = \sum_{s=1}^m x_{i,s}c_{s,j} = \sum_{s=1}^m \left( \sum_{r=1}^n a_{i,r}b_{r,s} \right) c_{s,j}$

Behúzva a $c_{s,j}$ tagot a belső szummába:

$\sum_{s=1}^m \sum_{r=1}^n (a_{i,r}b_{r,s}c_{s,j})$

JOBB OLDAL: $A(BC)$ elemzése

Legyen $Y = BC$. Ennek eleme: $y_{r,j} = \sum_{s=1}^m b_{r,s}c_{s,j}$.

Ekkor az $AY = A(BC)$ mátrix $(i,j)$ eleme:

$(A(BC))_{i,j} = \sum_{r=1}^n a_{i,r}y_{r,j} = \sum_{r=1}^n a_{i,r} \left( \sum_{s=1}^m b_{r,s}c_{s,j} \right)$

Behúzva az $a_{i,r}$ tagot a belső szummába:

$\sum_{r=1}^n \sum_{s=1}^m (a_{i,r}b_{r,s}c_{s,j})$

Konklúzió

Mivel a valós számok szorzása asszociatív ($a(bc) = (ab)c$), és a véges kettős szummák összegezési sorrendje tetszőlegesen felcserélhető, a két oldal megegyezik. A szorzat minden eleme pontosan ugyanazt az $n \cdot m$ darab háromtényezős szorzatot tartalmazó összeget adja. □

Mire kell vigyázni a bizonyítások után?

❌ NEM KOMMUTATÍV

A szorzás sorrendje nem cserélhető fel: $AB \neq BA$.

✅ TRANSZPONÁLT SZABÁLYA

A transzponált és a szorzás kapcsolata: $(AB)^T = B^T A^T$. (Fontos a megfordult sorrend!)

10.9. Az egységmátrix

A mátrixműveletek során létezik egy kitüntetett elem, amely a szorzásra nézve semlegesen viselkedik. Ezt a struktúrát nevezzük egységmátrixnak.

2.5.9. Definíció

Egységmátrixnak nevezzük azt az $(n \times n)$-es mátrixot, amelynek a (bal felső sarkot a jobb alsóval összekötő) főátlójában minden elem 1, az összes többi eleme pedig 0.

Jelölése:

$E_n$ vagy $E$

(Utóbbit akkor használjuk, ha $n$ értéke a szövegkörnyezetből egyértelmű).

Szemléltetés ($E_3$):

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Kapcsolat a standard bázissal

Az egységmátrix oszlopai pontosan megegyeznek a korábban (2.2.22. Definíció) megismert standard bázis $e_1, \dots, e_n$ vektoraival.

Ez a szoros kapcsolat adja meg az egységmátrix elnevezésének elméleti hátterét is.

10.10. Az egységmátrix mint egységelem

Ahogy a valós számoknál az 1-gyel való szorzás nem változtatja meg a szám értékét, úgy a mátrixok világában ezt a szerepet az egységmátrix tölti be.

2.5.10. Állítás

Tetszőleges $(k \times n)$-es $A$ mátrixra:

$A \cdot E_n = A \quad \text{és} \quad E_k \cdot A = A$

Vagyis: a (megfelelő méretű) egységmátrixszal akár balról, akár jobbról végzett szorzás azonos a mátrix változatlanul hagyásával.

Az állítás bizonyítása:

Az állítás közvetlenül következik a mátrixszorzás definíciójából. Jelöljük a $C = A \cdot E_n$ szorzatot. A szorzási szabály szerint a $C$ mátrix $i$-edik sorának $j$-edik eleme ($c_{i,j}$) az $A$ mátrix $i$-edik sorának és az $E_n$ mátrix $j$-edik oszlopának skaláris szorzata.

$c_{i,j} = a_{i,1} \cdot 0 + \dots + a_{i,j-1} \cdot 0 + a_{i,j} \cdot 1 + a_{i,j+1} \cdot 0 + \dots + a_{i,n} \cdot 0 = a_{i,j}$

Mivel az $E_n$ mátrix $j$-edik oszlopában csak a $j$-edik elem 1 (az összes többi 0), a szumma minden tagja kiesik, kivéve az $a_{i,j} \cdot 1$ tagot. Az $E_k \cdot A = A$ állítás bizonyítása ezzel analóg. □

Levezetett példafeladat

Feladat:

Igazolja számítással az $A \cdot E_3 = A$ állítást, ha: $$ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} $$

Számítás (1. sor $\cdot$ 2. oszlop):

$c_{1,2} = a_{1,1} \cdot 0 + a_{1,2} \cdot 1 + a_{1,3} \cdot 0$
$c_{1,2} = 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + 5 \cdot 0 = \mathbf{-1}$

Számítás (2. sor $\cdot$ 3. oszlop):

$c_{2,3} = a_{2,1} \cdot 0 + a_{2,2} \cdot 0 + a_{2,3} \cdot 1$
$c_{2,3} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = \mathbf{4}$

Konklúzió

Látható, hogy a szorzatmátrix elemei pontosan megegyeznek az eredeti $A$ mátrix elemeivel, mivel az egységmátrix megfelelő oszlopaival való szorzás „kiválogatja” az adott indexű elemet.

10.11. A determinánsok szorzástétele

A mátrixműveletek és a determinánsok kapcsolatának egyik legfontosabb és legmeglepőbb eredménye a szorzástétel. Ez lehetővé teszi, hogy egy szorzatmátrix determinánsát anélkül határozzuk meg, hogy magát a szorzást elvégeznénk.

2.5.13. Tétel (A determinánsok szorzástétele)

Bármely $A$ és $B$ $(n \times n)$-es mátrixokra teljesül az alábbi összefüggés:

$\det(A \cdot B) = \det A \cdot \det B$

Megjegyzés: Fontos kiemelni, hogy ez az állítás csak négyzetes mátrixokra értelmezhető, hiszen a determináns fogalma csak ezekre létezik. Bár a mátrixszorzás általában nem felcserélhető ($AB \neq BA$), a determinánsaik szorzata (mivel azok puszta számok) felcserélhető, tehát $\det(AB) = \det(BA)$.

Gyakorlati jelentőség

Ez a tétel rendkívül hasznos a számítási feladatokban: ha egy bonyolult mátrixról tudjuk, hogy két egyszerűbb mátrix szorzata, a determinánsát sokkal gyorsabban kiszámíthatjuk a két kisebb determináns szorzataként.

Levezetett példafeladat

Feladat:

Számítsa ki a $\det(A \cdot B)$ értéket a tétel segítségével, ha: $$ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{és} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$

1. lépés: $\det A$ kiszámítása

$\det A = (3 \cdot 2) - (1 \cdot 4)$

$\det A = 6 - 4 = \mathbf{2}$

2. lépés: $\det B$ kiszámítása

$\det B = (2 \cdot 3) - (5 \cdot 0)$

$\det B = 6 - 0 = \mathbf{6}$

3. lépés: A szorzástétel alkalmazása

$\det(A \cdot B) = \det A \cdot \det B$

$2 \cdot 6 = \mathbf{12}$

Megjegyzés: Ha előbb elvégeznénk az $A \cdot B$ szorzást, a kapott mátrix $\begin{pmatrix} 6 & 18 \\ 8 & 26 \end{pmatrix}$ lenne,
aminek determinánsa: $6 \cdot 26 - 18 \cdot 8 = 156 - 144 = 12$. A tétel tehát helyes eredményt ad.